Närmare än två ramträffar kom inte nye managern Mauricio Pochettinos Chelsea.
Nicolas Jackson träffade stolpen i inledningen av matchen och Raheem Sterling drog en frispark i kryssribban och ned på mållinjen i andra halvlek. Returen förpassades i mål av Levi Colwill, men han blåstes mycket riktigt av för offside.
Även i övrigt skapade Londonlaget en rad chanser, men lyckades inte få bollen i mål bakom hemmamålvakten Neto.
I stället var det Bournemouth som pressade på för ett segermål i slutet.
"Kan göra vad de vill"
Chelsea blev utbuat av sina supportrar efteråt.
– Vad kan vi göra? Jag har inget att säga. Fansen kan göra vad de vill. Vi vet vad vi måste göra och vi tror på oss själva. Vi har tolv spelare skadade och i dag hade vi tre-fyra unga spelare och två målvakter på bänken, säger Pochettino enligt AFP.
Bland de tolv skadade spelarna finns rekordförvärvet Moises Caicedo som Londonklubben betalade motsvarande 1,5 miljarder kronor till Brighton för.
Chelsea slutade bara på tolfte plats förra säsongen under nya ägarkonsortiet med amerikanske affärsmannen Todd Boehly i spetsen.
Nu är läget ännu sämre och Chelsea ligger på 14:e plats, en placering ovanför Bournemouth som fortfarande är segerlöst och har tre kryss hittills.
Vann på mardrömsarenan
Arsenal åkte till mardrömsarenan Goodison Park där laget hade tre raka förluster och fem raka utan seger mot bottenlaget Everton.
Men topplaget bröt trenden.
Leandro Trossard sköt snyggt segermålet via vänstra stolpen i 69:e minuten framspelad av Bukayo Saka.
Arsenal hade en boll inne redan i första halvleken med Gabriel Martinellis mål underkändes för offside efter VAR-granskning.
Arsenal är fortfarande obesegrat, fyra segrar och en oavgjord, och ligger fyra, två poäng bakom ledande Manchester City.