FN:s generalsekreterare António Guterres och USA:s utrikesminister Antony Blinken riktar direkta uppmaningar till Azerbajdzjans ledare att skydda de civila i Nagorno-Karabach.
I ett telefonsamtal med president Ilham Aliyev underströk Blinken ett "akut behov att avhålla sig från fientliga handlingar, och att skyddet av civila och deras rätt till rörelsefrihet inte får villkoras".
Samtidigt växte köerna, timmer efter timme av fullastade bilar, bussar och lastbilar som i snigelfart närmade sig gränsen mellan regionen Nagorno-Karabach och Armenien.
Många av passagerarna hade bara hunnit få med sig några få personliga tillhörigheter, snabbt hoprafsade i resväskor, plastkassar eller vad som funnits till hands när de plötsligt tvingade fly från sina hem.
– Folk flydde i vad de än kunde hitta, berättade en ung kvinna för BBC.
Vid 19-tiden på kvällen kom de första rapporterna om att över 28 000 flyktingar lämnat sina hem. Det var en ökning med nästan 10 000 från tisdagseftermiddagens uppgifter.
Flykten från Nagorno-Karabach följer på den azeriska militäroffensiven mot regionen i förra veckan. Nagorno-Karabach ligger formellt inom Azerbajdzjans gränser, men en majoritet i befolkningen är armenier.
Azerbajdzjans utrikesminister Jejhun Bajramov lovade den gångna helgen att armenierna kommer att behandlas "som jämlika medborgare", men många av invånarna i området litar inte på löftet.
"Har ingenting med oss"
De första anhalten i Armenien för många flyktingar är staden Goris. På stadens överfulla torg samlades många i hopp om att få hjälp av Röda Korset.
Enligt Tatjana Oganesjan, som är läkare och organiserar hjälpverksamheten i staden, är många av de människor som kommer utmattade, undernärda och mentalt knäckta.
– De är chockade och kan säga saker som: "Jag behöver mina piller. De är blåa". Och sedan måste vi läkare lista ut vad det är för medicin de tar och hitta den, sade hon till BBC.
En äldre kvinna som just stigit av en av de fullastade bussarna pekar på sin tröja.
– Vi har ingenting med oss, säger hon, och tillägger att tröjan är det enda hon äger efter att hon tvingats lämna sitt hem.
"Ingen möjlighet att återvända"
Det är inte första gången som armenier i Nagorno-Karabach har tvingats fly från den konfliktdrabbade regionen, men den här gången tycks många av dem som tagit sig över gränsen till Armenien ha en känsla av att avskedet från hemorten är mer definitivt.
– Det finns ingen möjlighet för oss att återvända. Hade det funnits en chans skulle vi aldrig ha åkt därifrån. Men det är för farligt, säger en ung kvinna med en liten flicka i famnen som just klivit av en fullastad buss.
Läget i Nagorno-Karabach försvårades av att i en bränsledepå i huvudorten Stepanakert exploderade på måndagen. Fler än 20 personer bekräftades döda, och ytterligare 300 rapporterades skadade. Enligt obekräftade uppgifter sent på tisdagen var antalet dödsoffer klart högre.
